השיטה הגאוסית, המכונה גם שיטת צעד אחר צעדהדרה של משתנים לא ידועים, נקראת על שם המדען הגרמני המכובד ק '. גאוס, אשר, במהלך חייו, קיבל את הכותרת הבלתי רשמית של "מלך המתמטיקה". עם זאת, שיטה זו היתה ידועה הרבה לפני לידתה של התרבות האירופית, כבר במאה הראשונה. לפני הספירה. ה. מדענים סיניים עתיקים השתמשו בו בכתבים שלהם.
השיטה הגאוסית היא שיטה קלאסית לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות לינאריות (SLAE). היא אידיאלית לפתרון מהיר של מטריצות מוגבלות.
השיטה עצמה מורכבת משני שלבים: ישיר הפוך. ריצה ישרה היא יציקה רציפה של SLAU לצורה משולשת, כלומר, ערכי האפס ממוקמים מתחת לאלכסון הראשי. המהלכים הפוכים מרמזים על ממצאים עוקבים של ערכי המשתנים, המבטאים כל משתנה באמצעות הקוד הקודם.
כדי ללמוד כיצד ליישם את שיטת גאוס בפועל היא פשוטה, זה מספיק כדי לדעת את הכללים הבסיסיים של כפל, חיבור וחיסור של מספרים.
על מנת להדגים את האלגוריתם לפתרון מערכות לינאריות בשיטה זו, נביא דוגמה אחת.
אז, לפתור באמצעות השיטה גאוס:
x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6
אנחנו צריכים להיפטר מהמשתנה x בקווים השני והשלישי. לשם כך, אנו מוסיפים את הראשון, מוכפל -2 ו -4, בהתאמה. אנחנו מקבלים:
x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10-18z = -18
עכשיו להכפיל את הקו השני על ידי 5 ולהוסיף אותו השלישי:
x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-4 inter 49
שורה שנייה:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9
שורה ראשונה:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
less 3,000 3,000
בהסתמך על הערכים המתקבלים של המשתנים בנתונים הראשוניים, אנו משוכנעים בנכונות הפתרון.
דוגמה זו ניתן לפתור על ידי תחליפים רבים אחרים, אבל התשובה צריכה להיות זהה.
זה קורה כי על הקו הראשון המוביליש אלמנטים עם ערכים קטנים מדי. זה לא מפחיד, אבל זה די מסובך. הפתרון לבעיה זו הוא שיטת גאוס עם הבחירה של האלמנט העיקרי על ידי העמודה. המהות שלה מורכבת מהבאים: בשורה הראשונה נמצא האלמנט המקסימלי, העמודה שבה הוא נמצא משתנה עם העמודה 1-st, כלומר, אלמנט מקסימלי שלנו הופך את האלמנט הראשון של האלכסון הראשי. הבא מגיע תהליך החישוב הסטנדרטי. במידת הצורך, ניתן לחזור על הנוהל להחלפת העמודות.
הוא משמש בפתרון מרובע SLAU, כאשר מציאת מטריקס הפוכה ואת הדירוג של המטריצה (מספר שורות שאינם אפס).
המהות של שיטה זו היא שהמערכת המקורית הופכת למטריצת יחידה באמצעות טרנספורמציות עם חיפוש נוסף אחר ערכי המשתנים.
האלגוריתם שלה הוא כדלקמן:
1. שיטת המשוואות מצטמצמת, כמו בשיטת גאוס, לצורה משולשת.
2. כל שורה מחולקת במספר מסוים, כך שהיחידה על האלכסון הראשי מתקבלת.
3. השורה האחרונה מוכפלת במספר מסוים ומופחתת מן הלפני אחרון עם חישוב שכזה שאנו מקבלים 0 על האלכסון הראשי.
4. הפעולה חוזרת על עצמה ברצף עבור כל השורות עד שלבסוף נוצרת מטריצת יחידה.
